কষে দেখি 5.3 | 5. অনুপাত ও সমানুপাত | WBBSE Class 10 Math Solution

 5. অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion) || কষে দেখি 5.3 || WBBSE Class 10 Math Solution 

1. a:b=c:d হলে, দেখাই যে,
(i) \((a^2+b^2):(a^2-b^2)=(ac+bd):(ac-bd)\)

সমাধানঃ
ধরি, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) (যেখানে k≠0)
∴ a=bk
এবং c=dk
বামপক্ষ = \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\)
= \(\frac{{(bk)}^2+b^2}{{(bk)}^2-b^2}\)
= \(\frac{{b^2k}^2+b^2}{{b^2k}^2-b^2}\)
= \(\frac{{b^2(k}^2+1)}{{b^2(k}^2-1)}\)
        = \(\frac{{(k}^2+1)}{{(k}^2-1)}\)
ডানপক্ষ = \(\frac{ac+bd}{ac-bd}\)
= \(\frac{(bk)(dk)+bd}{(bk)(dk)-bd}\)
= \(\frac{{bdk}^2+bd}{{bdk}^2-bd}\)
= \(\frac{{bd(k}^2+1)}{{bd(k}^2-1)}\)
        = \(\frac{{(k}^2+1)}{{(k}^2-1)}\)
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

1. a:b=c:d হলে, দেখাই যে,

(ii) (a²+ab+b²):(a²-ab+b²)=(c²+cd+d²):(c²-cd+d²)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) (যেখানে k≠0)

∴ a=bk এবং c=dk

বামপক্ষ = \(\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\)

= \(\frac{(b{k)}^2+bk.b+b^2}{(b{k)}^2+bk.b+b^2}\)

= \(\frac{b^2k^2+b^2.k+b^2}{b^2k^2-b^2.k+b^2}\)

= \(\frac{b^2{(k}^2+k+1)}{b^2{(k}^2-k+1)}\) 

                = \(\frac{{(k}^2+k+1)}{{(k}^2-k+1)}\)

ডানপক্ষ = \(\frac{c^2+cd+d^2}{c^2-cd+d^2}\)

= \(\frac{(d{k)}^2+dk.b+d^2}{(d{k)}^2+dk.d+d^2}\)

= \(\frac{d^2k^2+d^2.k+d^2}{d^2k^2-d^2.k+d^2}\)

= \(\frac{d^2{(k}^2+k+1)}{d^2{(k}^2-k+1)}\) 

        = \(\frac{{(k}^2+k+1)}{{(k}^2-k+1)}\)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

2. x:a=y:b=z:c হলে, প্রমাণ করি যে,

(i) \(\frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}=\frac{{(x+y+z)}^3}{{(a+b+c)}^2}\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\) (যেখানে k≠0)

∴ x=ak, y=bk এবং z=ck

বামপক্ষ \(= \frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}\)

\(= \frac{{(ak)}^3}{a^2}+\frac{{(bk)}^3}{b^2}+\frac{{(ck)}^3}{c^2}\)

\(= \frac{{a^3k}^3}{a^2}+\frac{{b^3k}^3}{b^2}+\frac{{c^3k}^3}{c^2}\)

\(= {ak}^3+{bk}^3+{ck}^3 = k^3(a+b+c)\)

ডানপক্ষ \(= \frac{{(x+y+z)}^3}{{(a+b+c)}^2}\)

\(= \frac{{(ak+bk+ck)}^3}{{(a+b+c)}^2}\)

\(= \frac{{{k\left(a+b+c\right)}}^3}{{(a+b+c)}^2}\)

\(= \frac{{k^3\left(a+b+c\right)}^3}{{(a+b+c)}^2}= k^3(a+b+c)\)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

2. x:a=y:b=z:c হলে, প্রমাণ করি যে,  

(ii) \(\frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}=\frac{xyz}{abc}\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\) (যেখানে k≠0)

∴ x=ak, y=bk এবং z=ck

বামপক্ষ \(= \frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}\)

\(= \frac{{(ak)}^3+{(bk)}^3+{(ck)}^3}{a^3+b^3+c^3}\)

\(= \frac{a^3k^3+b^3k^3+c^3k^3}{a^3+b^3+c^3}\)

\(= \frac{{k^3(a}^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3}\)

   \(= k^3\)

ডানপক্ষ \(= \frac{xyz}{abc}\)

\(= \frac{ak.bk.ck}{abc}\)

\(= k^3\)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

2. x:a=y:b=z:c হলে, প্রমাণ করি যে,

(iii) \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\) (যেখানে k≠0)

∴ x=ak, y=bk এবং z=ck

বামপক্ষ = \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\)

= \((a^2+b^2+c^2)(a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2)\)

= \(\left(a^2+b^2+c^2\right)k^2(a^2+b^2+c^2)\)

= \(k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

ডানপক্ষ  = \(\left(ax+by+cz\right)^2\)

= \(\left(a.ak+b.bk+c.ck\right)^2\)

= \(\left\{k\left(a^2+b^2+c^2\right)\right\}^2\)

= \(k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

3. a:b=c:d=e:f হলে, প্রমাণ করি যে,

(i)প্রত্যেকটি অনুপাত = \(\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\) 

সমাধানঃ

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\)

বা, \(\frac{5a}{5b}=\frac{7c}{7d}=\frac{13e}{13f}=\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\)

[সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

∴ প্রত্যেকটি অনুপাত = \(\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\) [প্রমাণিত] 

3. a:b=c:d=e:f হলে, প্রমাণ করি যে,

(ii) \((a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2)=\left(ab+cd+ef\right)^2\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k\) (যেখানে k≠0)

∴ a=bk, c=dk এবং e=fk

বামপক্ষ = \((a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2)\)

= \((b^2k^2+d^2k^2+f^2k^2)(b^2+d^2+f^2)\)

= \(k^2(b^2+d^2+f^2)(b^2+d^2+f^2)\)

= \(k^2\left(b^2+d^2+f^2\right)^2\)

ডানপক্ষ = \(\left(ab+cd+ef\right)^2\)

= \(\left(bk.b+dk.d+fk.f\right)^2\)

= \(\left\{k\left(b^2+d^2+f^2\right)\right\}^2\)

= \(k^2\left(b^2+d^2+f^2\right)^2\)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

4. যদি a:b=b:c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,

(i) \(\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\) (যেখানে k≠0)

∴ a=bk এবং b=ck 

বা, \(a=ck.k=ck^2\)

বামপক্ষ = \(\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2\)

= \(\left(\frac{ck^2+ck}{ck+c}\right)^2\)

= \(\left\{\frac{ck(k+1)}{c(k+1)}\right\}^2= k^2\)

ডানপক্ষ = \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

= \(\frac{c^2k^4+c^2k^2}{c^2k^2+c^2}\)

= \(\frac{c^2k^2(k^2+1)}{c^2(k^2+1)} = k^2\)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

4. যদি a:b=b:c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,

(ii) \(a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c}\right)=a^3+b^3+c^3\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\) (যেখানে k≠0)

∴ a=bk এবং b=ck 

বা, \(a=ck.k=ck^2\)

বামপক্ষ = \(a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

= \(c^2k^4{.c}^2k^2.c^2\left(\frac{1}{c^3k^6}+\frac{1}{c^3k^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

= \(c^6k^6\left(\frac{1+k^3+k^6}{c^3k^6}\right)\)

= \(c^3\left(1+k^3+k^6\right)\)

ডানপক্ষ = \(a^3+b^3+c^3\)

= \(c^3k^6+c^3k^3+c^3\)

= \(c^3\left(k^6+k^3+1\right)\)

= \(c^3\left(1+k^3+k^6\right)\)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

4. যদি a:b=b:c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,

 (iii) \(\frac{abc{(a+b+c)}^3}{{(ab+bc+ca)}^3}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\) (যেখানে k≠0)

∴ a=bk এবং b=ck 

বা, \(a=ck.k=ck^2\)

\(\frac{abc{(a+b+c)}^3}{{(ab+bc+ca)}^3}\)

=\(\frac{ck^2.ck.c\left(ck^2+ck+c\right)^3}{{(ck^2.ck+ck.c+c.ck^2)}^3}\)

= \(\frac{c^3k^3\left\{c{(k}^2+k+1)\right\}^3}{{(c^2k^3+c^2k+c^2k^2)}^3}\)

= \(\frac{c^3k^3.c^3{{(k}^2+k+1)}^3}{\left\{c^2k(k^2+1+k)\right\}^3}\)

= \(\frac{c^6k^3{{(k}^2+k+1)}^3}{c^6k^3{{(k}^2+1+k)}^3}\)

= 1

∴ \(\frac{abc{(a+b+c)}^3}{{(ab+bc+ca)}^3}=1\) [প্রমাণিত]

5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,

(i) (a²+b²+c²)(b²+c²+d²)=(ab+bc+cd)²

সমাধানঃ

a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

ধরি, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\) (যেখানে, k≠0)

সুতরাং, a=bk, b=ck এবং c=dk

∴         b=dk×k= dk² এবং a=dk²×k= dk³ 

বামপক্ষ = (a²+b²+c²)(b²+c²+d²)

             = (d²k⁶+d²k⁴+d²k²)(d²k⁴+d²k²+d²)

            = d²k²(k⁴+k²+1)d²(k⁴+k²+1)

            = d⁴k²(k⁴+k²+1)²

ডানপক্ষ = (ab+bc+cd)²

= (dk³. dk²+dk².dk+dk.d)²

            = (d²k⁵ +d²k³+d²k)²

            = {d²k(k⁴+k²+1)²}²

            = d⁴k²(k⁴+k²+1)²

∴         বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,

(ii) (b-c)²+(c-a)²+(b-d)²=(a-d)²

সমাধানঃ

a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

ধরি, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\) (যেখানে, k≠0)

সুতরাং, a=bk, b=ck এবং c=dk
∴         b=dk×k= dk² এবং a=dk²×k= dk³ 
বামপক্ষ = (b-c)²+(c-a)²+(b-d)²
            = (dk²-dk)²+(dk-dk³)²+(dk²-d)²
            = {d (k²-k)}²+{d(k-k³)}²+{d(k²-1)}²
            = d²{(k²-k)²+(k-k³)²+(k²-1)²}
            = d²{k⁴-2k³+k²+k²-2k⁴+k⁶+k⁴-2k²+1}                            
            = d²{ -2k³+k⁶+1}      
            = d²{k⁶-2k³+1}
            = d²(k³-1)²
ডানপক্ষ = (a-d)²
            = (dk³-d)²
        = {d(k³-1)}²    
        = d²(k³-1)²     
∴         বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

6. (i) যদি \(\frac{m}{a}=\frac{n}{b}\) হয়, তবে দেখাই যে, 

(m²+n²)(a²+b²)=(am+bn)²

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{m}{a}=\frac{n}{b}=k\) (যেখানে, k≠0)

সুতরাং, m=ak এবং n=bk

বামপক্ষ= (a².k²+ b².k²)(a²+b²)

= k²(a²+b²)(a²+b²)

= k²(a²+b²)²
ডানপক্ষ = (am+bn)²

= (a.ak+b.bk)²

= (a²k+b²k)²

= {k(a²+b²)}²
= k²(a²+b²)²

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

6. (ii) যদি \(\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাই যে, 

(a+b)(a²+b²)x³=(x+y)(x²+y²)a³
সমাধানঃ
ধরি,  (যেখানে, k≠0)
সুতরাং, a=bk এবং x=yk
বামপক্ষ= (a+b)(a²+b²)x³
= (bk+b)(b²k²+b²)y³k³
= b(k+1)b²(k²+1) y³k³
= b³y³k³(k+1)(k²+1)
ডানপক্ষ= (x+y)(x²+y²)a³
= (yk+y)( y²k²+y²)b³k²
= y(k+1). y²(k²+1)b³k³
= b³y³k³(k+1)(k²+1)
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

6. (iii) যদি \(\frac{x}{lm-n^2}=\frac{y}{mn-l^2}=\frac{z}{nl-m^2}\) হয়, 

তবে দেখাই যে, \(lx+my+nz=0\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{x}{lm-n^2}=\frac{y}{mn-l^2}=\frac{z}{nl-m^2}=k\) (যেখানে, k≠0)

সুতরাং, \(x=k(lm-n^2)\)

\(y=k(mn-l^2)\)

এবং \(z=k(nl-m^2)\)

\(lx+my+nz\)  

\(=l.\ k\left(lm-n^2\right)+m.k\left(mn-l^2\right)+n.k(nl-m^2)\)

\( =k\left(l^2m-n^2l+m^2n-l^2m+n^2l-m^2n\right)\)

= k×0

= 0

∴ \(lx+my+nz=0\) [প্রমাণিত]

6. (iv) \(\frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}\) হলে, 

দেখাই যে, (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}=k\) (যেখানে, k≠0)

সুতরাং, x=k(b+c-a), y=k(c+a-b) এবং z=k(a+b-c)

(b-c)x+(c-a)y+(a-b)z

= (b-c)(b+c-a)+(c-a)(c+a-b)+(a-b)(a+b-c)

= (b-c)(b+c)-a(b-c)+(c-a)(c+a)-b(c-a)+(a-b)(a+b)-c(a-b)

= \(b^2-c^2-ab+ac+c^2-a^2-bc+ab-a^2-b^2-ac+bc\)

= 0

∴ (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0 [প্রমাণিত]

6. (v) \(\frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}\) হলে, 

দেখাই যে, \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4a}{a^2+4}\)

সমাধানঃ

\(\frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}\)

বা, \(\frac{x^2}{y^2}=\frac{\left(a+2\right)^2}{\left(a-2\right)^2}\) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই]

বা, \(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{\left(a+2\right)^2+\left(a-2\right)^2}{\left(a+2\right)^2-\left(a-2\right)^2}\)

                            [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার সাহয্যে পাই]

বা, \(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{4.a.2}{2(a^2+2^2)}\)

∴ \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4a}{a^2+4}\) [প্রমাণিত]

6. (vi) \(x=\frac{8ab}{a+b}\) হলে, 

\(\left(\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}\right)\)-এর মান হিসাব করে লিখি। 

সমাধানঃ

\(x=\frac{8ab}{a+b}\)

বা, \(\frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}\) [উভয়পক্ষকে 4a দ্বারা ভাগ করে পাই]

বা, \(\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-(a+b)}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \(\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{3b+a}{b-a}\)

আবার, \(x=\frac{8ab}{a+b}\)

বা, \(\frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}\) [উভয়পক্ষকে 4b দ্বারা ভাগ করে পাই]

বা, \(\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2a+a+b}{2a-(a+b)}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \(\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}\)

∴ \(\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}\)

\(=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}\)

\(= \frac{3b+a}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a}\)

\(= \frac{3b+a-3a-b}{b-a}\)

\(= \frac{2(b-a)}{b-a}= 2\)

7. (i) \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}\) হলে, 

দেখাই যে, \(\frac{a+b+c}{c}=2\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}=k\) (যেখানে, k≠0)

সুতরাং, a=3k, b=4k এবং c=7k

\(\frac{a+b+c}{c}\)

=\(\frac{3k+4k+7k}{7k}\)

= \(\frac{14k}{7k} = 2\)

∴ \(\frac{a+b+c}{c}=2\) [প্রমাণিত]

7. (ii) \(\frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}\) হলে, 

দেখাই যে, a+b+c=0=pa+qb+rc

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}=k\) (যেখানে k≠0)

সুতরাং, a=k(q-r), b=k(r-p) এবং c=k(p-q)

a+b+c

= k(q-r)+k(r-p)+k(p-q)

= k(q-r+r-p+p-q)

= k×0=0

pa+qb+rc

= pk(q-r)+qk(r-p)+rk(p-q)

=pqk-prk+qrk-pqk+prk-qrk

= 0

7. (iii) \(\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}\) হলে, 

দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x-এর সমান। 

সমাধানঃ

\(\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}\)

বা, \(\frac{a\left(ax+by\right)}{a.a}=\frac{b\left(bx-ay\right)}{b.b}\)

=\(\frac{a\left(ax+by\right)+b(bx-ay)}{a^2+b^2}\) [সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

=\(\frac{b^2x+aby+a^2x-aby}{a^2+b^2}\)

= \(\frac{x(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = x\)

∴ প্রতিটি অনুপাত x-এর সমান [প্রমাণিত]

8. (i) যদি \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\) হয়, 

তবে প্রমাণ করি যে, c=a অথবা a+b+c+d=0

সমাধানঃ

\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\)

বা, (a+b)(d+a)=(c+d)(b+c)

বা, \(ad+bd+a^2+ab=bc+bd+c^2+cd\)

বা, \(ad+bd+a^2+ab-bc-bd-c^2-cd=0\)

বা, \(a^2-c^2+ad-cd+ab-bc=0\)

বা, (a+c)(a-c)+d(a-c)+b(a-c)=0

বা, (a-c)(a+c+d+b)=0

হয়, a-c=0 অথবা, a+c+d+b=0

বা, c=a বা, a+b+c+d=0

∴ হয়, c=a এবং a+b+c+d=0 [প্রমাণিত]

8.(ii) যদি \(\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}\) হয়, 

দেখাই যে, \(\frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}=k\) (যেখানে, k≠0)

সুতরাং, x=k(b+c), y=k(c+a) এবং z=k(a+b)

\(\frac{a}{y+z-x}=\frac{a}{k\left(c+a\right)+k\left(a+b\right)-k(b+c)}\)

=\(\frac{a}{ck+ak+ak+bk-bk-ck}\)

=\(\frac{a}{2ak} = \frac{1}{2k}\)

 \(\frac{b}{z+x-y}=\frac{b}{k\left(a+b\right)+k\left(b+c\right)-k\left(c+a\right)}\)

=\(\frac{b}{ak+bk+bk+ck-ck-ak}\)

=\(\frac{b}{2bk} = \frac{1}{2k}\)

 \(\frac{c}{x+y-z}=\frac{c}{k\left(b+c\right)+k\left(c+a\right)-k(a+b)}\)

=\(\frac{c}{bk+ck+ck+ak-ak-bk}\)

=\(\frac{c}{2ck} = \frac{1}{2k}\)

∴ \(\frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}\) [প্রমাণিত]

8. (iii) \(\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}\) হলে, 

দেখাই যে, \(\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\) 

সমাধানঃ 

\(\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}\) 

= \(\frac{x+y+y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a}\) [সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই] 

= \(\frac{2(x+y+z)}{2(a+b+c)}\) 

= \(\frac{x+y+z}{a+b+c}\) 

\(\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{x+y}{3a-b}\) 

=\(\frac{x+y+z-x-y}{a+b+c-3a+b}\) [সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই] 

=\(\frac{z}{2b-2a+c}\) 

 একইরকম ভাবে পাই, 

 \(\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{y+z}{3b-c}=\ \frac{x+y+z-y-z}{a+b+c-3b+c}=\ \frac{x}{a-2b+2c}\)

 এবং \(\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{z+x}{3c-a}= \frac{x+y+z-z-x}{a+b+c-3c+a}= \frac{y}{2a+b-2c}\)

 ∴\(\frac{x}{a-2b+2c}=\frac{y}{2a+b-2c}=\frac{z}{2b-2a+c}\)

 = \(\frac{ax+by+cz}{a\left(a-2b+2c\right)+b\left(2a+b-2c\right)+c(2b-2a+c)}\) 

                    [সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই] 

= \(\frac{ax+by+cz}{a^2-2ab+2ac+2ab+b^2-2bc+2bc-2ac+c^2}\) 

 =\(\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)

 ∴ \(\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\) [প্রমাণিত] 

8. (iv) \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) হলে, 

দেখাই যে, \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}\)

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\) (যেখানে k≠0)

সুতরাং, x=ak, y=bk এবং z=ck

\(\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{a^2k^2-bk.ck}{a^2-bc}=\frac{k^2(a^2-bc)}{(a^2-bc)}=k^2\)

\(\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{b^2k^2-ck.ak}{b^2-ca}=\frac{k^2(b^2-ca)}{(b^2-ca)}=k^2\)

\(\frac{z^2-xy}{c^2-ab}=\frac{c^2k^2-ak.bk}{c^2-ab}=\frac{k^2(c^2-ab)}{(c^2-ab)}=k^2\)

∴ \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}\) [প্রমাণিত]

9. (i) যদি \(\frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}\) হয়, 

তবে দেখাই যে \(\frac{x}{y}=\frac{u}{v}\)

সমাধানঃ

\(\frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}\)

বা, \(\frac{3x+4y}{3x-4y}=\frac{3u+4v}{3u-4v}\)

বা, \(\frac{(3x+4y)+(3x-4y)}{\left(3x+4y\right)-(3x-4y)}=\frac{\left(3u+4v\right)-(3u-4v)}{\left(3u+4v\right)+(3u-4v)}\)

[যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \(\frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y}=\frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}\)

বা, \(\frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}\)

∴ \(\frac{x}{y}=\frac{u}{v}\) [প্রমাণিত]

9. (ii) (a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)

হলে, প্রমাণ করি যে, a:b=c:d

সমাধানঃ

\(\frac{(a+b+c+d)}{(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)}{(a-b-c+d)}\)

বা, \(\frac{(a+b+c+d)+(a+b-c-d)}{(a+b+c+d)-(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)+(a-b-c+d)}{(a-b+c-d)-(a-b-c+d)}\)

[যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \(\frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b+c+d-a-b+c+d)}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d}\)

বা, \(\frac{2(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a-b)}{2(c-d)}\)

বা, \(\frac{(a+b)}{(c+d)}=\frac{(a-b)}{(c-d)}\)

বা, \(\frac{(a+b)}{(a-b)}=\frac{(c+d)}{(c-d)}\)

বা, \(\frac{\left(a+b\right)+(a-b)}{\left(a+b\right)-(a-b)}=\frac{\left(c+d\right)+(c-d)}{\left(c+d\right)-(c-d)}\) 

[যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \(\frac{a+b+a-b}{a+b-a+b}=\frac{c+d+c-d}{c+d-c+d}\)

বা, \(\frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}\)

বা, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

∴ a:b=c:d [প্রমাণিত]

10. (i) \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{c+a}=\frac{c^2}{a+b}=1\) হলে, 

দেখাই যে, \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1\)

সমাধানঃ

 \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{c+a}=\frac{c^2}{a+b}=1\)

সুতরাং, \(a^2=b+c, b^2=c+a\) এবং \(c^2=a+b\)

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\)

=\(\frac{a}{a+a^2}+\frac{b}{b+b^2}+\frac{c}{c+c^2}\)

= \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}\)

=  \(\frac{a+b+c}{a+b+c}\)

= 1

∴ \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1\) [প্রমাণিত]

10. (ii) \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:(ax+by)=1\) হলে,

দেখাই যে, \(\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1\)

সমাধানঃ

\(\frac{x^2}{by+cz}=\frac{y^2}{cz+ax}=\frac{z^2}{ax+by}=1\)

সুতরাং, 

\(y^2=cz+ax\)

\(y^2=cz+ax\)

এবং \(z^2=ax+by\)

 \(\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}\)

 \(=\frac{ax}{ax+x^2}+\frac{by}{by+y^2}+\frac{cz}{cz+z^2}\)

 \(=\frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{by+cz+bx}+\frac{cz}{cz+ax+by}\)

 \(=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}\)

= 1

∴ \(\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1\)  [প্রমাণিত]

11. (i) \(\frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}\) এবং x+y+z≠0 হলে, 

দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(\frac{1}{a+b+c}\) -এর সমান

সমাধানঃ

\(\frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}\) 

\(= \frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}\)

[সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

\(= \frac{x+y+z}{xa+xb+xc+ya+yb+yc+za+zb+zc}\)

\(= \frac{x+y+z}{x\left(a+b+c\right)+y(a+b+c)+z(a+b+c)}\)

\(= \frac{x+y+z}{(a+b+c)(x+y+z)}\)

\(= \frac{1}{a+b+c}\)

∴ প্রতিটি অনুপাত \(\frac{1}{a+b+c}\) -এর সমান [প্রমাণিত]

11. (ii) \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\) হলে, 

প্রমাণ করি যে, (a+b+c)(x+y+z)=ax+by+cz

সমাধানঃ

 \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)          

বা, \(\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-zx}=\frac{c}{z^2-xy}=k\) ধরি, (যেখানে, k≠0)                 

সুতরাং, \(a=k(x^2-yz)\)

\(b=k(y^2-zx)\) এবং \(c=k(z^2-xy)\)

বামপক্ষ = (a+b+c)(x+y+z)

\(= {k\left(x^2-yz\right)+k\left(y^2-zx\right)+k(z^2-xy)}(x+y+z)\)

\(= k\left(x^2-yz+y^2-zx+z^2-xy\right)(x+y+z)\)

\(= k.(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\) 

\(=\ k.(x^3+y^3+z^3-3xyz)\)

ডানপক্ষ = ax+by+cz 

\(= k\left(x^2-yz\right).x+k\left(y^2-zx\right).y+k(z^2-xy).z\)

\(= k(x^3-xyz+y^3-xyz+z^3-xyz)\)

\(= k(x^3+y^3+z^3-3xyz)\)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):  

(i) 3, 4 এবং 6-এর চতুর্থ সমানুপাতী

(a) 8 (b) 10 (c) 12 (d) 24

সমাধানঃ

ধরি, 3, 4 এবং 6-এর চতুর্থ সমানুপাতী x

∴ \(\frac{3}{4}=\frac{6}{x}\)

∴ \(x=\frac{6\times4}{3} = 8\)

উত্তরঃ (a) 8

(ii) 8 এবং 12-এর তৃতীয় সমানুপাতী

(a) 12 (b) 16 (c) 18 (d) 20

সমাধানঃ

ধরি, 8 এবং 12-এর তৃতীয় সমানুপাতী x

∴ \(\frac{8}{12}=\frac{12}{x}\)

∴ \(x=\frac{12\times12}{8} = 18\)

উত্তরঃ (c) 18

(iii) 16 এবং 25-এর মধ্য সমানুপাতী

(a) 400 (b) 100 (c) 20 (d) 40

সমাধানঃ

ধরি, 16 এবং 25-এর মধ্য সমানুপাতীx

∴ \(\frac{16}{x}=\frac{x}{25}\)

বা, \(x^2=400\)

∴ \(x=\sqrt{400} = 20\)

উত্তরঃ (c) 20

(iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং \(a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a\) হলে,

a –এর মান

(a) \(\frac{81}{256}\) (b) 9 (c) \(\frac{9}{16}\) (d) \(\frac{16}{9}\)

সমাধানঃ

\(a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a\)

বা, \(\frac{a}{\frac{27}{64}}=\frac{\frac{3}{4}}{a}\)

বা, \(a^2=\frac{3}{4}\times\frac{27}{64}\)

বা, \(a^2=\frac{81}{256}\)

∴ \(a=\sqrt{\frac{81}{256}} = \frac{9}{16}\)

উত্তরঃ (c) \(\frac{9}{16}\)

(v) 2a=3b=4c হলে, a:b:c হবে

(a) 3:4:6 (b) 4:3:6 (c) 3:6:4 (d) 6:4:3

সমাধানঃ

ধরি, 2a=3b=4c=k (যেখানে, k≠0)

সুতরাং, \(a=\frac{k}{2}, b=\frac{k}{3}\)

এবং \(c=\frac{k}{4}\)

∴a:b:c 

= \(\frac{k}{2}:\frac{k}{3}:\frac{k}{4}\)

= \(\frac{12k}{2}:\frac{12k}{3}:\frac{12k}{4}\)

= 6:4:3

উত্তরঃ (d) 6:4:3

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) ab:c², bc:a² এবং ca:b² –এর যৌগিক অনুপাত 1:1

সমাধানঃ

ab:c², bc:a² এবং ca:b² –এর 

যৌগিক অনুপাত = ab×bc×ca:c²×a²×b²

= a²b²c²: a²b²c²

= 1:1

উত্তরঃ সত্য

(ii) \(x^3y, x^2y^2\) এবং \(xy^3\) ক্রমিক সমানুপাতী

সমাধানঃ

\(\frac{x^3y}{x^2y^2} = \frac{x}{y}\)

এবং \(\frac{x^2y^2}{xy^3} = \frac{x}{y}\)

∴ \(\frac{x^3y}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2}{xy^3}\)

∴ \(x^3y, x^2y^2\) এবং \(xy^3\) ক্রমিক সমানুপাতী 

উত্তরঃ সত্য 

(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল 64 হলে, তাদের মধ্যসমানুপাতী ________

সমাধানঃ

ধরি, তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা হল a, b ও c

∴ abc=64

যেহেতু, সংখ্যা তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী

∴ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

বা, \(b^2=ac\)

বা, \(b^2=\frac{64}{b}\)

বা, \(b^3=64\)

বা, \(b^3=43\)

∴ b=4

∴ তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল 64 হলে, তাদের মধ্যসমানুপাতী 4

উত্তরঃ 4

(ii) a:2=b:5=c:8 হলে, a-এর 50%=b-এর20%=c-এর_____%

সমাধানঃ

a:2=b:5=c:8 

∴ \(\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}\)

বা, \(a\times\frac{50}{100}=b\times\frac{20}{100}=c\times\frac{\frac{25}{2}}{100}\)

∴ a-এর 50%=b-এর20%=c-এর \(\frac{25}{2}\ %\)

বা, a-এর 50%=b-এর20%=c-এর \(12\frac{1}{2}\ %\)

উত্তরঃ \(12\frac{1}{2}\)

(iii) (x+2) এবং (x-3) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, 

x এর মান _____

সমাধানঃ

(x+2) এবং (x-3) এর মধ্য সমানুপাতী x

∴ \(\frac{x+2}{x}=\frac{x}{x-3}\)

বা, \(\left(x+2\right)\left(x-3\right)=x^2\)

বা, \(x^2+2x-3x-6-x^2=0\)

বা, -x-6=0

বা, x+6=0

∴ x=-6

উত্তরঃ -6

13.  সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{p}\) হলে, p-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{p}=k\) (যেখানে, k≠0)

সুতরাং, a=2k, b=3k, c=4k

এবং 2a-3b+4c=kp 

বা, 2.2k-3.3k+4.4k=pk

বা, 4k-9k+16k=pk

বা, 11k=pk

∴ p=11

∴ p এর মান 11

 (ii) \(\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}\) হলে, \(\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}\) –এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

\(\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}\)

বা, 6x-10y=3x+5y

বা, 6x-3x=5y+10y

বা, 3x=15y

∴ x=5y

\(\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}\)

\(=\frac{3{.25y}^2-5y^2}{3.25y^2+5y^2}\)

\(=\ \frac{{75y}^2-5y^2}{{75y}^2+5y^2}\)

\(= \frac{{70y}^2}{{80y}^2}=\frac{7}{8}\)

(iii) a:b=3:4 এবং x:y=5:7 হলে, (3ax-by):(4by-7ax) কত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, a=3k, b=4k এবং x=5p এবং y=7p

\(\frac{3ax-by}{4by-7ax}=\frac{3.3k.5p-4k.7p}{4.4k.7p-7.3k.5p}\)

\(= \frac{45kp-28kp}{112kp-105kp}\)

\(= \frac{17kp}{7kp}=\frac{17}{7}\)

∴ (3ax-by):(4by-7ax) = 17:7

(iv) x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী

∴ \(\frac{x}{12}=\frac{12}{y}=\frac{y}{27}\)

দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত থেকে পাই,

\(\frac{12}{y}=\frac{y}{27}\)

বা, \(y^2=324\)

∴ \(y=\sqrt{324}=18\) [∵ y এর মান ধনাত্মক]

প্রথম ও দ্বিতীয় অনুপাত থেকে পাই,

\(\frac{x}{12}=\frac{12}{y}\)

বা, \(\frac{x}{12}=\frac{12}{18}\)

∴ \(x=\frac{12\times12}{18}=8\) [∵ x এর মান ধনাত্মক]

∴ x এর ধনাত্মক মান 8 এবং y এর ধনাত্মক মান 18

(v) a:b=3:2 এবং b:c=3:2 হলে, a+b:b+c কত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

\(\frac{a}{b}=\frac{3}{2}=\frac{3\times3}{2\times3}=\frac{9}{6}\)

এবং \(\frac{b}{c}=\frac{3}{2}=\frac{3\times2}{2\times2}=\frac{6}{4}\)

∴ a:b:c=9:6:4

ধরি, a=9k, b=6k এবং c=4k

∴ a+b:b+c=(9k+6k):(6k+4k)

= 15k:10k 

        = 15:10

        = 3:2